0.999999...=1が成立する?しない?

 

こんばんわ、とっとです!

 

さっそくですがある計算式について考えていきます

 

数学が苦手な人でも理解できる簡単な四則演算となっています

 

ではいきましょう!

 

「1/3は小数で表すと0.333333......と3が永遠に続く循環小数です

 

1/3=0.3333333......

 

両辺に3をかけると

 

1/3×3=0.3333333......×3

 

1=0.9999999......」

 

成立してしまいましたねww

 

この問題は理系の大学生を卒業した人なら一度は聞いたことあると思います

 

イメージ的には左辺は1だけど右辺は限りなく近づいているけど1にはたどり着かないので成立してないと思います

 

なのに計算過程では間違いはないのにイコールの関係になっています

 

どうしてでしょうか

 

僕は理学部数学科の大学生ではないので厳密な証明はできないですが僕なりの解釈を説明していきますww

 

よくある証明の一つとして中学生で習う循環小数を分数に変形する解法を利用します

 

「a=0.9999999...・・・①とおく

 

10a=9.9999999...・・・②であるので

 

②-①より

 

   10a=9.9999999...

 -)    a=0.9999999...

--------------------------

       9a=9 

         a=1

 

よって1=0.999999...である」

 

これはどうでしょうか、納得いきましたか?

 

僕はこれでは納得していませんwww

 

理由は②-①の計算において右辺が9ではないと思ったからです

 

②で両辺に10をかけることで右辺の桁が1つ繰り上がります

 

つまり一番最小の位において0-9の計算

 

例えば0.999999と9が6個とした場合

 

   10a=9.9999

-)    a=0.99999

--------------------

     9a=8.99991

 

となり右辺=9ではないです

 

本題は循環小数なので右辺の最小桁の繰り上がりを考慮しなくていいと思いますがなんか違和感を僕は感じます

 

ここから僕の考えですがそもそも1/3は0.3333...ではないと思いました

 

1/3はひっさんで計算すると0.3333...と永遠に続くので計算がおわりません

 

分数と小数では数字を表現することの限界に差があります

 

1÷3は分数では表現できるが、小数では表現できない数字ということです

 

つまり

 

1/3≠0.33333...です

 

また当たり前のように使っていますが=(イコール)という記号は2つの意味があります

 

1つは一般的に言われてる左辺と右辺が"同じである"ということです

 

2+1=3、3×4=12、4÷2=2

 

これはイメージできます

 

もう一つの意味は"極限"という意味でのイコールです

 

計算を限りなく続けていくとある極限値に収束する(ある値に近づく)ということです

 

今回の議論である0.99999...=1のイコールは後者の意味で使われていると思います

 

極限を使って証明します

 

「0.999999...は∑[k=1...∞]9×(1/10)^kと表すことができる

 

つまり初項0.9、公比0.1の無限等比級数なので

 

∑[k=1...∞]9×(1/10)^k=0.9/(1-0.1)=1に収束します」

 

こちらに関しては納得いきましたww

 

このように数学の世界ではイコールには等しい、極限という2つの意味を定義しているが世間的には前者のイメージが大きいので違和感が起きたと思います

 

なので数学を勉強するうえでルール、定義をしっかり身に付けないといけません

 

僕はそれが嫌なので工学部に行った一つの理由ですwww

 

学問は奥が深いですね、、、

 

以上です。

 

 

 

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